Une étude de fonction

Problème adapté de la banque nationale de sujets : https://www.education.gouv.fr/reussir-au-lycee/bns

Soit la fonction \(f\) définie sur l'intervalle \([0{,}1\,; 4]\) par \(f (x) =4x+\dfrac{1}{x}\).
On admet que la fonction \(f\) est dérivable sur \([0{,}1\,; 4]\) et on note \(f ′\) la fonction dérivée de la fonction \(f\) sur \([0{,}1\,; 4]\).
À l’aide d’un tableur, on obtient un tableau de valeurs de la fonction \(f\) pour \(x\) variant de \(0{,}1\) à \(4\) avec un pas de \(0{,}1\) ainsi qu’une allure de la représentation graphique de la fonction \(f\) sur \([0{,}1\,; 4]\).
On donne ci-dessous un extrait de la feuille automatisée de calcul ainsi obtenue.

1. Quelle formule, destinée à être ensuite étirée vers le bas, peut-on saisir dans la cellule B2 afin d’obtenir l’affichage de l’image \(f(x)\) pour \(x\) variant de \(0{,}1\) à \(4\) avec un pas de \(0{,}1\) ?
2. a. Après avoir dérivé la fonction `f`, démontrer que, pour tout réel `x` de \([0{,}1~;4]\) :  \(f ′(x)=\dfrac{(2x−1)(2x+1)}{x^2}\).
    b. Justifier que, pour tout réel \(x\) de \([0{,}1\,;4]\), le nombre dérivé \(f ′(x)\) a le même signe que l’expression \((2x−1)(2x+1)\).
    c. Déterminer le signe de la fonction dérivée \(f′\) sur \([0{,}1\,;4]\).
3. Est-il vrai que, pour tout réel \(x\) de \([0{,}1\,;4]\), l’image \(f(x)\) est toujours supérieure ou égale à \(4\) ? Justifier la réponse.